📚 Tiếng Anh 3 📚 Writing Practice 21 📚 Toán 2 📚 Vocabulary 12 📚 Ngữ Pháp 12 📚 Reading 14

Toán - Lớp 7

Toán lớp 7

📘 Tập hợp các số hữu tỉ

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về tập hợp các số hữu tỉ, một nền tảng quan trọng của chương trình Toán lớp 7. Mình sẽ đồng hành và đặt các câu hỏi gợi ý để chúng ta cùng nắm vững kiến thức này nhé.

1. Số hữu tỉ là gì? 

Số hữu tỉ là số có thể viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$, trong đó $a, b \in \mathbb{Z}$ và $b \neq 0$.

  • Tử số ($a$) và mẫu số ($b$) phải là các số nguyên.

  • Mẫu số ($b$) bắt buộc phải khác $0$.

  • Ký hiệu: Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là $\mathbb{Q}$ .

Ví dụ về số hữu tỉ:

  • Số nguyên: $-5$ có thể viết là $\frac{-5}{1}$.

  • Số thập phân: $0,25$ có thể viết là $\frac{1}{4}$.

  • Hỗn số: $2\frac{1}{3}$ có thể viết là $\frac{7}{3}$.

Tất cả các số tự nhiên ($\mathbb{N}$) và số nguyên ($\mathbb{Z}$) đều là số hữu tỉ vì chúng luôn có thể viết dưới dạng phân số với mẫu số bằng 1.

Tuyệt vời, chúng ta sẽ đi sâu vào cả 3 nội dung này để bạn có cái nhìn toàn diện nhất về số hữu tỉ nhé!

1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ 

Trong toán học, các tập hợp số không đứng riêng lẻ mà có quan hệ bao hàm lẫn nhau. Bạn có thể hình dung chúng như những con búp bê Nga (Matryoshka):

  • Số tự nhiên ($\mathbb{N}$) nằm gọn trong Số nguyên ($\mathbb{Z}$).

  • Số nguyên ($\mathbb{Z}$) lại nằm gọn trong Số hữu tỉ ($\mathbb{Q}$).

Vì bất kỳ số nguyên $a$ nào cũng có thể viết dưới dạng phân số $\frac{a}{1}$, nên ta có quan hệ:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

Ghi nhớ: Mọi số tự nhiên và số nguyên đều là số hữu tỉ, nhưng không phải số hữu tỉ nào cũng là số nguyên (ví dụ: $\frac{1}{2}$ là số hữu tỉ nhưng không phải số nguyên).

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số 

Để biểu diễn một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ (với $b > 0$) trên trục số, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

  1. Chia đơn vị: Chia đoạn thẳng đơn vị (từ 0 đến 1) thành $b$ phần bằng nhau. Mỗi phần mới này gọi là đơn vị mới (bằng $\frac{1}{b}$ đơn vị cũ).

  2. Xác định vị trí:

    • Nếu $a > 0$: Số hữu tỉ nằm bên phải điểm 0, cách 0 một khoảng bằng $a$ lần đơn vị mới.

    • Nếu $a < 0$: Số hữu tỉ nằm bên tả điểm 0, cách 0 một khoảng bằng $|a|$ lần đơn vị mới.

Ví dụ: Để biểu diễn $\frac{2}{3}$:

  • Chia đoạn từ 0 đến 1 thành 3 phần bằng nhau.

  • Lấy 2 phần kể từ điểm 0 về phía bên phải.

3. So sánh hai số hữu tỉ 

Để so sánh hai số hữu tỉ $x$ và $y$, chúng ta thường đưa chúng về cùng một "hệ quy chiếu":

Cách 1: Đưa về cùng mẫu số dương

Viết $x = \frac{a}{m}$ và $y = \frac{b}{m}$ (với $m > 0$).

  • Nếu $a < b$ thì $x < y$.

  • Nếu $a > b$ thì $x > y$.

  • Nếu $a = b$ thì $x = y$.

Cách 2: Sử dụng trục số

Trên trục số nằm ngang, nếu số hữu tỉ $x$ nằm bên trái số hữu tỉ $y$ thì $x < y$.

Phân loại số hữu tỉ:

  • Số hữu tỉ dương: Là số hữu tỉ lớn hơn 0 (ví dụ: $\frac{2}{3}, 5, -1,2/-3$).

  • Số hữu tỉ âm: Là số hữu tỉ nhỏ hơn 0 (ví dụ: $-\frac{1}{4}, -3, 0,5/-2$).

  • Số 0: Không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

Để củng cố kiến thức, mình biên soạn một bộ phiếu bài tập (gồm trắc nghiệm và tự luận) về chủ đề này để luyện tập.

📘 Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

  1. Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

  2. Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

  3. Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta có thể áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân và chia đối với số thập phân.

B. KĨ NĂNG GIẢI TOÁN

Vận dụng tính chất giao hoán của phép cộng, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và quy tắc dấu ngoặc để thực hiện tính nhanh, tính hợp lí một biểu thức.

Kiến thức trọng tâm

Cộng và trừ số hữu tỷ

Quy tắc:

Trường hợp cùng mẫu

Cộng hoặc trừ tử số, giữ nguyên mẫu số

Trường hợp khác mẫu

Quy đồng mẫu số rồi thực hiện phép tính

Công thức:

$p = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$

$p = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$

Nhân số hữu tỷ

Quy tắc:

Cách thực hiện

Nhân tử với tử, mẫu với mẫu

Công thức:

$p = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Chia số hữu tỷ

Quy tắc:

Cách thực hiện

Nhân với số nghịch đảo

Công thức:

$p = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Kỹ năng cần nắm

Quy đồng mẫu số

Tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu, sau đó đưa về cùng mẫu

Rút gọn phân số

Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất

Ví dụ:
$p = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Thứ tự thực hiện phép tính

Quy tắc

Thực hiện nhân và chia trước, sau đó mới cộng và trừ

Xử lý dấu âm

Quy tắc dấu

Âm nhân âm bằng dương
Âm nhân dương bằng âm

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

$p = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Quy đồng:
$p = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Ví dụ 2

$p = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

$p = \frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$

Ví dụ 3

$p = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$

Giải:
$p = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$p = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{5}$

Quy đồng mẫu 20:
$p = \frac{15}{20} - \frac{10}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20}$

Bài tập luyện tập

Mức cơ bản

$p = \frac{2}{3} + \frac{5}{6}$
$p = \frac{7}{8} - \frac{3}{4}$
$p = \frac{4}{5} \times \frac{3}{7}$
$p = \frac{6}{7} : \frac{2}{3}$

Mức nâng cao

$p = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$
$p = \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\right) : \frac{2}{3}$
$p = -\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} + \frac{5}{6}$

Kết luận

Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỷ là nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Học sinh cần nắm chắc quy tắc, luyện tập thường xuyên và chú ý thứ tự phép tính để làm bài chính xác.